SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

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Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables es un conjunto formado por dos ecuaciones, cada una con dos variables o incógnitas. Ambas ecuaciones se abarcan con una llave.



Tipos de sistemas de ecuaciones de primer grado



En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:

- Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.
- Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.
- Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.


Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea más sencilla.




Resolución.- Significa hallar el valor de las incógnitas, que al reemplazarse en ellas, se verifica las dos igualdades.

Métodos de resolución
Usaremos 3 métodos de resolución:
. Igualación
. Sustitución
. Reducción



Método de igualación .- Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.


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Método de sustitución.- La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.


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Método de reducción.- Llamado método de Gauss o de sumas y restas, consiste en buscar que una de las incógnitas, en cada ecuación tenga el mismo coeficiente, pero diferente signo, para después reducir y resulte una ecuación con una sola variable.


El método de reducción, consta de los siguientes pasos:

  • Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.
  • Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.
  • Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

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Información

EN LA VIDA COTIDIANA... Problemas matemáticos clásicos

Problemas antiguos


Los sistemas de ecuaciones lineales se conocen y trabajan desde hace miles de años. Algunos fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales se referían a las incógnitas con palabras.

Los griegos resolvieron algunos sistemas utilizando métodos geométricos, y los hindúes también trabajaron la resolución de sistemas.

Con la introducción de los símbolos en el Álgebra, a partir del siglo XVI, se desarrollan las técnicas de resolución actuales.

Algunos de los problemas que aquí se proponen tienen una gran tradición en Matemáticas. De algunos se saben su origen, como el problema del enjambre que es hindú, y el del caballo y el mulo, que se atribuye a Euclides, pero de la mayoría no se sabe su fuente.

Los problemas de esta página tienen la peculiaridad de que en su enunciado aparecen animales.

Son problemas procedentes de sociedades rurales, en las cuales dichos animales tenían una gran importancia.

Algunos de ellos se resuelven fácilmente mediante sistemas de ecuaciones, otros mediante una ecuación, mientras que, en algunos, al tratar de resolverlos mediante sistemas de ecuaciones o ecuaciones, se alarga la resolución y resulta más sencillo hacerlos mentalmente.

Actividades

1. Un pastor lleva a la feria su pequeño rebaño de ovejas que vende a tres feriantes: al primero le vende la mitad de las ovejas del rebaño, más media oveja; al segundo, la mitad de las ovejas que le quedan, más media oveja, y al tercero le vende la última oveja. ¿Cuántas ovejas tiene su rebaño? ¿Y cuántas ovejas vendió a cada feriante?

2. Los hindúes escribían muchos de sus problemas de una forma poética. El siguiente es uno de ellos. "De un enjambre de abejas, la quinta parte se posa sobre una flor de kadamba, la tercera parte sobre una .or de silinda. El triple de la diferencia entre ambos números vuela hacia las .ores de un kutaja, y queda una abeja revoloteando en el aire, atraída al mismo tiempo por el embriagador aroma de un jazmín y de un pandanus. Dime, hermosa mujer, el número de abejas."

3. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sacos sobre sus lomos. Lamentábase el caballo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: "¿De qué te quejas? Si te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía". Decidme, doctos matemáticos, ¿cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo?

4. El siguiente problema se puede resolver mentalmente, reflexionando sobre los datos. "Me encantan los animales. Tengo varios en casa. Todos son perros menos dos, todos son gatos menos dos y todos son loros menos dos. Es decir, que tengo… ¿cuántos animales? "

5. En un corral hay conejos y gallinas, que tienen un total de 60 cabezas y 192 patas. Halla el número de conejos y de gallinas. Antes de resolver este problema, contesta: ¿Podrían ser todos los animales conejos? ¿Y gallinas?

Lic. José A. Gómez Chávez

1 comentario:

crys dijo...

Hola a ver si me ayudas con la resolucion de este problema:
En un laboratorio los productos quimicos estan colocados en estanterias de manera que en cada estanteria caben 8.
Se cambian a otra vitrina mas grande pero con una estanteria menos, por lo que se han de colocar 10 productos en cada estanteria.
De cuantos productos dispone el laboratorio?

He planteado 8x = 10y pero me falta otra igualdad para realizar el sistema.

Me ayudas?

Gracias

yocris9@hotmail.com